一、一次性收付款項(xiàng)的計(jì)算
一次性收付款是指在某一特定時(shí)點(diǎn)上一次性支付（或收?。?，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再相應(yīng)地
一次性收取（或支付）的款項(xiàng)。如，年初存入銀行一年定期存款1000元，年利率為10%，年末取出1100元，就屬于一次性收付款項(xiàng)。
由于計(jì)息方式不同，對(duì)于一次性收付款項(xiàng)的計(jì)算涉及兩種：
（一）單利終值、現(xiàn)值計(jì)算
[例1]假設(shè)現(xiàn)在的1元錢(qián)，年利率為10%，計(jì)算第1年到第n年年末的本利和（終值）（分別用單利和復(fù)利計(jì)息）。單利計(jì)算，見(jiàn)下表一：
期限 到期本利和 到期前累計(jì)利息
1年期 1+1×10%=1.1 0.1
2年期 1+1×10%×2=1.2 0.2
3年期 1+1×10%×3=1.3 0.3
.
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N年期 1+1×10%×n n×0.1
表一 單利計(jì)算終值 單位:元
由此推出：
1.單利終值：F=P+P×i×n=P× (1+n×i)
其中，i為利率，n為期數(shù)，以下全部相同。
2.單利現(xiàn)值：P= F/（1+ n×i）
上述兩種運(yùn)算互為逆運(yùn)算,由終值求現(xiàn)值的過(guò)程也叫貼現(xiàn)。
(二)復(fù)利終值、現(xiàn)值的計(jì)算
見(jiàn)上例：復(fù)利計(jì)算見(jiàn)下表二
期限 到期本利和 到期前累計(jì)利息
1年期 1+1×10%=1.1 0.1
2年期 [1×（1+10%）]（1+10%） 0.21
3年期 [1×（1+10%）2]（1+10%） 0.33
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.
N年期 1×（1+10%）n 1×（1+10%）n-1
表二 復(fù)利計(jì)算終值 單位：元
由此推出：
1.復(fù)利終值：F=P×（1+i）n
其中，（1+i）n稱為復(fù)利終值系數(shù)，用符號(hào)（F/P，i，n）表示
2.復(fù)利現(xiàn)值：P=F/（1+i）n= F×（1+i）-n
其中，（1+i）-n稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)（P/F，i，n）表示
[例2]某人持有一張帶息票據(jù)，面額為2000元，票面利率為5%，出票日期為8月12日，到期日為11月10日（90天），計(jì)算持有該票據(jù)至到期日可得的本息總額。
【解答】 本息總額=2000╳（1+90/360╳5%）=2025元
[例3]某人準(zhǔn)備購(gòu)房，開(kāi)發(fā)商提出2個(gè)方案：方案一是現(xiàn)在一次性付80萬(wàn)元；方案二是5年后付100萬(wàn)元，若目前銀行貸款利率為7%（復(fù)利計(jì)息），要求計(jì)算比較哪個(gè)付款方案有利。
【解答】由于利息的存在，不能直接比較，把利息的因素扣除掉，要算到同一個(gè)時(shí)點(diǎn)，即可比較兩方案的現(xiàn)值。
方案1：P=80萬(wàn)元
方案2：P=80╳（F/P，7%，5）=112.208萬(wàn)元
所以，應(yīng)選擇方案1。
二、年金的計(jì)算
年金是指一定時(shí)期內(nèi)每次等額收付的一系列款項(xiàng)。它必須具有2個(gè)特點(diǎn)：一是定期收付；二是金額相等。如，我們?nèi)粘Ｉ钪械淖饨?、養(yǎng)老金、保險(xiǎn)金、分期付款等都屬于年金方式，一般用“A”表示年金。
年金按收付的次數(shù)和支付時(shí)間點(diǎn)不同分為四種形式：普通年金、即付年金、遞延年金和永續(xù)年金。
對(duì)于年金的計(jì)算同樣也是涉及到終值和現(xiàn)值的計(jì)算，在這四種年金中，最重要的是普通年金終值和現(xiàn)值的計(jì)算，其它三種年金的計(jì)算可以通過(guò)一定的方式轉(zhuǎn)化為普通年金的計(jì)算。
（一）普通年金的計(jì)算
普通年金又稱為后付年金，收或支發(fā)生在每期期末的年金。
1.終值的計(jì)算（已知年金A，求F）
年金終值類似于零存整取的本利和，指一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。
例：假定i=10%,n=3,A=100元，第三年年末的普通年金終值為多少？
注：第一期期末的100元，應(yīng)賺得2期利息，因此，到第三期期末其值為121元；第二期期末的100元，應(yīng)賺得1期的利息，因此到第三期期末其值為110元；第三期期末的100元，沒(méi)有計(jì)息，其值為100元。整個(gè)年金終值為100×1.0+100× (1+10%)1+100× (1+10%)2=331元
由上例，推廣到n期的普通年金終值的計(jì)算如下：
F=A+A·(1+i)+A·(1+i)2+……+ A·(1+i)n-1= A·
其中 為年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)（F/A，i,n）表示。
[例4]張先生每年年末存入銀行1000元,連存5年,年利率為10%,則5年滿期后,張先生得到的本利和是多少?
【解答】
F=1000× =1000×(F/A,10%,5)=1000×6.1051=6105.1元
2.年金現(xiàn)值的計(jì)算(已知A，求P)
現(xiàn)在已知年金終值,可由年金終值的計(jì)算公式推導(dǎo)出年金現(xiàn)值的計(jì)算公式,如下圖：
注：一系列款項(xiàng)的價(jià)值=最后一筆款項(xiàng)的價(jià)值，可以計(jì)算最后一筆款項(xiàng)的現(xiàn)值，也就等于一系列款項(xiàng)的現(xiàn)值。
∴P=A· ×（1+i）-n=A·
由此推導(dǎo)出年金現(xiàn)值的計(jì)算公式:
P= A·
其中： 為年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)（P/A，i,n）表示。
(二)即付年金
即付年金也稱為預(yù)付年金或先付年金，收或支發(fā)生在每期期初的年金。
即付年金也涉及到終值和現(xiàn)值的計(jì)算，并且通過(guò)轉(zhuǎn)化為普通年金，即可求出即付年金終值和現(xiàn)值。
1.終值計(jì)算
分兩步走：假設(shè)向前遞延一年及第n期有一筆年金的收或付，第一步先計(jì)算n+1期的普通年金，第二步再去掉終值點(diǎn)的年金。
∴F=A·（F/A，i,n+1）- A=A·[（F/A，i,n+1）-1]
即付年金終值系數(shù)和普通年金相比，期數(shù)加1，系數(shù)減1。
2.即付年金現(xiàn)值的計(jì)算
分兩步走：假設(shè)向前遞延一年，第一步先計(jì)算n期普通年金現(xiàn)值，第二步再向后調(diào)整一期。
∴P=A· ·（1+i）
=A· +1
=A·[（P/A，i，n-1）+1]
即付年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金相比，期數(shù)減1，系數(shù)加1
[例5]孫女士看到在鄰近的城市中，一種品牌的火鍋餐館生意很火爆。她也想在自己所在的縣城開(kāi)一個(gè)火鍋餐館，于是找到業(yè)內(nèi)人士進(jìn)行咨詢。花了很多時(shí)間，她終于聯(lián)系到了火鍋餐館的中國(guó)總部，總部工作人員告訴她，如果她要加入火鍋餐館的經(jīng)營(yíng)隊(duì)伍，必須一次性支付50萬(wàn)元，并按該火鍋品牌的經(jīng)營(yíng)模式和經(jīng)營(yíng)范圍營(yíng)業(yè)。孫女士提出現(xiàn)在沒(méi)有這么多現(xiàn)金，可否分次支付，得到的答復(fù)是如果分次支付，必須從開(kāi)業(yè)當(dāng)年起，每年年初支付20萬(wàn)元，付3年。三年中如果有一年沒(méi)有按期付款，則總部將停止專營(yíng)權(quán)的授予。假設(shè)孫女士現(xiàn)在身無(wú)分文，需要到銀行貸款開(kāi)業(yè)，而按照孫女士所在縣城有關(guān)扶持下崗職工創(chuàng)業(yè)投資的計(jì)劃，她可以獲得年利率為5%的貸款扶持。請(qǐng)問(wèn)孫女士現(xiàn)在應(yīng)該一次支付還是分次支付?
【解答】 如分次支付，則3年的終值為：
F=20×[（F/A，5%，4）-1]=20×（4.3101-1）=66.202(萬(wàn)元)
如一次支付：
F=50×（F/P，5%，3）=50×1.1576=57.88(萬(wàn)元）
所以應(yīng)一次性支付對(duì)孫女士有利。
[例6] 張先生采用分期付款方式購(gòu)入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若銀行利率為6%，該項(xiàng)分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金支付的購(gòu)買(mǎi)價(jià)是多少?
【解答】P＝A·[（P/A，i，n-1）＋1]＝15000×[（P/A，6%，9）＋1]
＝15000×（6.8017＋1）＝117025.5（元）
（三）遞延年金的計(jì)算
遞延年金是指第一期不發(fā)生款項(xiàng)的收付，遞延若干期以后才會(huì)出現(xiàn)的年金，是普通年金的一種特殊形式。（收或支也發(fā)生在每期期末）
1.遞延年金終值的計(jì)算：
與普通年金終值計(jì)算一樣，F(xiàn)=A×（F/A，i,n）
2.遞延年金現(xiàn)值的計(jì)算：
方法一：分階段折現(xiàn)，把遞延期以后的年金利用普通年金公式求現(xiàn)值，這是求出來(lái)的現(xiàn)值是第一個(gè)等額收付前一期期末的數(shù)值，距離遞延年金的現(xiàn)值點(diǎn)還有n期，再向前按照復(fù)利現(xiàn)值公式折現(xiàn)n期即可。計(jì)算公式如下:
P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
方法二：假設(shè)遞延期m中進(jìn)行支付,計(jì)算出m+n期的普通年金現(xiàn)值，然后扣除實(shí)際并未支付的前m期的普通年金，計(jì)算公式如下：
P=A（P/A，i，m+n）-A（P/A，i，m）=A[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
方法三: 先求遞延年金終值，再折現(xiàn)為現(xiàn)值。
P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
【例7】某公司擬購(gòu)置一處房產(chǎn)，房主提出三種付款方案：
1.從現(xiàn)在起，每年年初支付20萬(wàn)，連續(xù)支付10次，共200萬(wàn)元；
2.從第5年開(kāi)始，每年末支付25萬(wàn)元，連續(xù)支付10次，共250萬(wàn)元；
3.從第5年開(kāi)始，每年初支付24萬(wàn)元，連續(xù)支付10次，共240萬(wàn)元。
假設(shè)該公司的資金成本率（即最低報(bào)酬率）為10%，你認(rèn)為該公司應(yīng)選擇哪個(gè)方案？
【解答】P1=20×（P/A，10%，10）×（1+10%）=135.18萬(wàn)
P2=20×[（P/A，10%，10）] ×(P/F,10%,4)=104.93萬(wàn)
P3=24×[（P/A，10%，13）-（P/A，10%，4）]110.78萬(wàn)
所以,公司應(yīng)采用第二種付款方案
(四)永續(xù)年金
永續(xù)年金也是普通年金的一種特殊形式，它實(shí)際上是一種永遠(yuǎn)繼續(xù)下去的年金，所以它沒(méi)有終值點(diǎn)，只有現(xiàn)值點(diǎn)，即沒(méi)有終值的計(jì)算，只有現(xiàn)值的計(jì)算
永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算
P=A·
N→∞,(1+i)-n極限為0
∴P=A/i
[例8］某學(xué)校擬建立一項(xiàng)永久性的獎(jiǎng)學(xué)金，每年計(jì)劃頒發(fā)2000元獎(jiǎng)學(xué)金。若利率為10%，則現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢(qián)？
【解答】?。校紸/i=2000÷10%=200 000(元）
